Список вопросов базы знаний

Формула Тейлора

если , то прямая – вертикальная асимптота графика y=f(x)

Правило Лопиталя

прямая y=kx+b – наклонная асимптота (в частности, при k = 0 – горизонтальная), если , , при нахождении наклонных асимптот надо различать случаи и

Асимптоты кривой

представление функции, имеющей в окрестности производные до (n+1) порядка, в виде суммы многочлена степени n, расположенного по степеням и некоторого остаточного члена, содержащего в (n+1) степени

Наклонная асимптота графика

прямая L называется асимптотой кривой, если расстояние от точки на кривой до L стремится к нулю, когда точка неограниченно удаляется от начала координат

Вертикальная асимптота графика

служит для нахождения , когда (неопределенность ), или (неопределенность ); правило утверждает: если существует предел (конечный или бесконечный) отношения производных , то существует и предел функций и эти пределы равны

Пустое множество

целые числа или обыкновенные дроби, т.е. отношение целых чисел

Множество

предметы, составляющие множество

Элементы множества

числа, которые представляются бесконечными непериодическими десятичными дробями

Рациональные числа

множество, не содержащее ни одного элемента

Действительные числа

совокупность, набор каких-то предметов

Иррациональные числа

положительные и отрицательные рациональные и иррациональные числа, число нуль

Окрестность точки

число А называют пределом числовой последовательности , если для любого как угодно малого положительного числа существует номер N такой, что все члены последовательности c номерами удовлетворяют неравенству

Числовая последовательность

задана, если каждому натуральному числу n по некоторому закону поставлено в соответствие определенное действительное число

– окрестность точки

любой открытый интервал, содержащий эту точку

Область значений переменной величины

открытый интервал с центром в точке длиной 2, т.е.

Предел числовой последовательности

Множество всех значений, которые принимает (пробегает) данная переменная величина

Переменная величина

Величина, принимающая различные значения

Бесконечно большая последовательность

последовательность, имеющая (конечный) предел, и последовательность, не имеющая предела

Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности

если существует число такое, что для любого n выполнено равенство

Единственность предела последовательности

если она является либо неубывающей, либо невозрастающей

Монотонная последовательность

последовательность не может иметь двух различных пределов

Сходящаяся и расходящаяся последовательность

для любого существовал N такой, что для всех выполнялось неравенство

Ограниченная последовательность

если для любого как угодно большого числа M > 0 существует N такой, что ,

Область значений функции

связь между аргументом x и функцией y выражена через посредство третьей переменной t-параметра; x и y заданы как функции параметра: x=φ(t), производная:

Функция

множество значений, принимаемых функций

Параметрическое задание функции. Дифференцирование параметрических заданных уравнений

множество (область) значений аргумента

Область определения функции

если y=f(x) разрешить относительно x: x=φ(y), то φ(y) – обратная функция к f(x). Производные обратных функций являются взаимно обратными величинами:

Сложная функция (функция от функции) и ее производная

если задана функция y=f(x), то x называется независимой переменной, или аргументом

Обратная функция и ее дифференцирование

множество точек на плоскости, абсциссами которых являются значения аргумента, а ординатами значения функции, соответствующие этим значениям аргумента; множество точек (x ; f(x))

Независимая переменная, аргумент

y=f(u), где u=φ(x), т.е. y=f[φ(x)] – сложная функция,

График функции y=f(x)

переменная величина y есть функция переменной x, если каждому значению x по некоторому правилу поставлено в соответствие определенное значение y; запись y=f(x)

Предел функции при

число а есть предел переменной величины х, если для любого , начиная с некоторого момента в изменении х, выполняется неравенство ; запись limx = a или если абсолютная величина разности между х и а становится в процессе изменения переменной величины х сколь угодно малой

Бесконечно большая (б.б.)

переменная величина называется бесконечно малой, если она стремится к нулю (число 0 – ее предел):

Предел функции f(x) в точке (при )

, если для найдется такое N, что при

Предел переменной величины х

, если для найдется такое , что для х, лежащего в – окрестности и , выполняется неравенство , или

Сравнение бесконечно малых (б.м.)

переменная величина х называется бесконечно большой, если обратная величина – бесконечно малая

Бесконечно малая (б.м.)

найти предел отношения двух бесконечно малых α и β : если то α и β – одного порядка; в частности, если то α и β – эквивалентные б.м.; если α – высшего порядка (малости) по сравнению с β; запись α =0(β)

Непрерывность функции в точке

– предел отношения приращения функции к приращению аргумента в точке , когда приращение аргумента стремится к нулю

Производная функции y=f(x)в точке

– скорость изменения функции y=f(x) в точке (относительно изменения аргумента x); если S=f(t) зависимость пути от времени, то (производная пути по времени) – скорость движения в момент t

Физические интерпретации производной

функция y=f(x) непрерывна в точке , если ; другое определение: пусть (приращение аргумента) и (приращение функции) тогда функция непрерывна в точке , если б.м. приращению соответствует б.м. приращение функции

Касательная прямая

предельное положение секущей, когда две точки ее пересечения с линией стремятся слиться в одну

Геометрический смысл производной

– тангенс угла наклона касательной к графику функции y=f(x), проведенной в точке

Геометрический смысл дифференциала функции y=f(x)

дифференциал dy есть главная часть приращения функции, пропорциональная приращению аргумента ; б.м. высшего порядка относительно

Инвариантность формы записи дифференциала

форма записи дифференциала функции не зависит от того, будет ли u независимым или промежуточным аргументом

Дифференциал функции y=f(x)

функция y=f(x) дифференцируема в точке , если существует (конечная) производная существует дифференциал ; дифференцируемая в функция непрерывна в , обратное неверно

Дифференциал независимой переменной

дифференциал – приращение ординаты касательной прямой, проведенной к графику функции y=f(x) в точке

Дифференцируемая функция

тоже, произвольное приращение независимой переменной

Теорема Ролля

если непрерывны [a,b] и дифференцированы на (a,b), причем на (a,b), то :

Теорема (формула) Лагранжа

если у кривой линии в каждой ее точке существует касательная, то найдется точка, в которой касательная параллельна хорде

Теорема Коши

специальный случай теоремы о хорде и касательной для графика функции y=f(x) на [a,b]: существует точка с, a < c < b такая, что

Теорема о хорде и касательной

специальный случай теоремы Лагранжа: если f(a)=f(b), то ; теоремы Лагранжа и Ролля верны для функции f(x), непрерывной на [a,b] и дифференцируемой по крайней мере на (a,b)

Монотонные функции (возрастающая и убывающая)

точка – точка максимума (минимума) функции f(x), если значение больше (меньше) всех значений f(x), принимаемых в некоторой окрестности ; определение подчеркивает локальный характер понятия; точка экстремума – общее назначение точек максимума и минимума

Точки максимума, минимума, экстремума

функция возрастает (убывает), если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции

Точка перегиба

или не существует – необходимый признак, меняет знак при переходе через точку , тогда в точке – перегиб – достаточный признак

Признаки точки перегиба

кривая выпукла (вогнута), если лежит над (под) любой своей касательной

Выпуклость (вогнутость) кривой

если производная при переходе слева направо через , где выполняется необходимое условие экстремума меняет знак с + на – , то х₀ – точка максимума, если с – на +, – точка минимума

Признак выпуклости (вогнутости)

– выпукла, – вогнута

Достаточный признак экстремума

точка на кривой, которая отделяет участок выпуклости от участка вогнутости

Признак возрастания или убывания

– функция возрастает, – функция убывает